【优能1对1】优能名师带你备战中考

27题第一问专题训练

【题型分解】

（一）点坐标与线段之间的转换

1．线段长的求法：与平行于x轴，用右点横坐标减左点横坐标；与平行于y轴，用上点横坐标减下点横坐标．

2．在平面直角坐标系内，两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)的中点坐标为．

（二）由函数解析式可得到的信息

1．一次函数y=-2x+4的图象与x轴交点坐标  (2,0)     ，与y轴交点坐标   (0,4)       ．

2．一次函数的图象与y轴交点坐标    (0,2)      ．

3．一次函数的图象与x轴交点坐标   (-2,0)       ．

4．一次函数的图象与x轴夹角正切值   1/2       ．

5．抛物线y=-x²+2x+3的图象与x轴交点坐标 (-1,0),(3,0)        ，与y轴交点坐标 (0,3)        ，顶点坐标  (1,4)       ．

6．抛物线y=ax²+bx+5的图象与y轴交点坐标  (0,5)        ．

7．抛物线y=﹣x²﹣x+c的图象的对称轴  x=-4        ．

8．抛物线y=ax²-5ax+b的图象的对称轴   x=5/2       ．

9．抛物线y=ax²-5ax-6a的图象与x轴交点坐标 (6,0),(-1,0)         ．

10．抛物线y=x²-（k+1）x+k的图象与x轴交点坐标 (1,0),(k,0)         ． 

【链式习题】

1．如图，抛物线y=ax²+bx+4交x轴于A、B两点，交y轴于点C，∠CBO=45°，OB=4OA，求抛物线的解析式．

∵抛物线y=ax²+bx+4交y轴于点C，

∴C（0，4），

∴OC=4，

∵∠BOC=90°，∠CBO=45°，

∴OB=OC=4，

∴B（4，0），

∵OB=4OA，

∴OA=1，

∴A（﹣1，0），

∴，

∴，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+3x+4．

2．抛物线y=ax²+bx-8与x轴交于A、B，与y轴交于C，D为抛物线的顶点，AB=2，D点的横坐标为3，求抛物线的解析式．

∵抛物线y=ax²+bx﹣8与x轴交于A、B，与y轴交于C，D为抛物线的顶点，AB=2，D点的横坐标为3，

∴A（2，0），B（4，0），

∴，

解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x²+6x﹣8；

3．抛物线y=-x²-（k-1）x+k（k＞0）与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，该抛物线的顶点D 在第一象限，并且抛物线的对称轴与x轴相交于点E， DE=4，求这条抛物线的解析式．

∵D为抛物线的顶点，DE=4，

∴=4，

解得k₁=3，k₂=﹣5（舍），

∴抛物线的解析式y=﹣x²+2x+3；

4．已知开口向上的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点坐标为（，﹣），连接AC．若AC=AB，求a的值．

∵抛物线顶点坐标为（，﹣a），

∴﹣=，

∴b=﹣3a

∴a+（﹣3a）+c=﹣a，

∴c=﹣4a

∴y=ax²﹣3ax﹣4a，C（0，﹣4a），

∴OC=4a．

当y=0时，ax²﹣3ax﹣4a=0，

∵a≠0∴x²﹣3x﹣4=0，

∴x₁=4，x₂=﹣1，

∴A（4，0）B（﹣1，0），

∴AB=5

∴AC=AB=2，

∵∠AOC=90°，

∴OC²+OA²=AC²，

∴OC=2，

∴4a=2，

∴a=；

5．在平面直角坐标中，抛物线y=ax²-3ax-10a（a＞0）分别交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C，且OB=OC，求a的值．

令y=0，则ax²﹣3ax﹣10a=0，

即a（x+2）（x﹣5）=0，

∴x₁=﹣2，x₂=5，

∴A（﹣2，0），B（5，0），

∴OB=5，

∵OB=OC，

∴OC=5，

∴C（0，﹣5），

∴﹣5=﹣10a，

∴a=；

6．在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x²-（k+1）x+k（k＞1）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点E．当AB=4时，求抛物线的解析式．

如图1，当y=0时，x²﹣（k+1）x+k=0，解得x=1或x=k，

∵点A在点B的左侧，k＞1，

∴A（1，0），B（k，0），

∵AB=k﹣1=4，

∴k=5，

∴抛物线的解析式为：y=x²﹣6x+5；

7．如图所示，直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线 y=ax²+（a-5）x+c过点B、C两点，求抛物线的解析式及顶点E的坐标．

∵直线l：y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴A（﹣1，0），B（0，3），

∵A、C关于y轴对称，

∴C（1，0），

把B、C两点坐标代入 y=ax²+（a﹣5）x+c，

得到解得，

∴抛物线解析式为y=x²﹣4x+3，

∵y=x²﹣4x+3=（x﹣2）²﹣1，

∴顶点E（2，﹣1）．

8．如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=-x²+bx+a与x轴相交于点A、点B（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相较于点C，直线y=kx-3k经过点B、C两点，且△BOC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式．

如图1，

令y=0，得kx﹣3k=0，

∵k≠0，

∴x=3，B（3，0）．

∵△BOC是等腰直角三角形，∠BOC=90°，

∴OB=OC=3，

∴C（0，3）．

∵y=﹣x²+bx+a经过点B、C，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=﹣x²+2x+3；

9．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax²-5ax-6a（a＜0＝经过B、C两点，与x轴交于另一点A，求a，b的值．

∵抛物线y=ax²﹣5ax﹣6a=a（x²﹣5x﹣6）=a（x+1）（x﹣6），

∴x₁=﹣1，x₂=6，对称轴x=，

∴A（﹣1，0），B（6，0），

∵直线y=﹣x+b与x轴交于点B，

∴0=﹣×6+b，

∴b=4，

∴直线y=﹣x+4，

∴C（0，4），

∴a×（﹣1）×6=4，

∴a=﹣，